Геометрия многоугольника: пятиугольники, шестиугольники и додекагоны

Двумерные правильные многоугольники везде

Немногие геометрические фигуры столь же разнообразны, как многоугольники. Они включают в себя знакомый треугольник, квадрат и пятиугольник, но это только начало.

В геометрии многоугольник – это любая двумерная форма, которая удовлетворяет следующим условиям:

• Состоит из трех или более прямых
• Закрыто без отверстий или разрывов в форме
• Имеет пары линий, которые соединяются в углах или вершинах, где они образуют углы
• Имеет равное количество сторон и внутренних углов

Двумерный означает плоский, как лист бумаги. Кубы не являются полигонами, потому что они трехмерны. Круги не являются полигонами, потому что они не содержат прямых линий.

Специальный вид многоугольника может иметь углы, которые не все равны. В этом случае он называется неправильным многоугольником.

О полигонах

Название многоугольник происходит от двух греческих слов:

• Poly , , что означает много .
• Гон , что означает угол

Формы, которые являются полигонами

• Треугольник (треугольник): 3 стороны
• Тетрагон (квадрат): 4 стороны
• Пентагоны: 5 сторон
• Шестиугольник: 6 сторон
• Семиугольник: 7 сторон
• Восьмиугольники: 8 сторон
• Нонагон: 9 сторон
• Декагон: 10 граней
• Undecagon: 11 сторон
• Додекагоны: 12 сторон

Как называются полигоны

Названия отдельных многоугольников получаются из числа сторон или углов, которыми обладает форма. Полигоны имеют одинаковое количество сторон и углов.

Общим названием для большинства полигонов является греческий префикс «сторон», прикрепленный к греческому слову «угол» (gon).

Примеры этого для пяти- и шестигранных правильных многоугольников:

• Пента (по-гречески означает пять) + гон = Пентагон
• Гекса (по-гречески означает шесть) + гон = шестиугольник

Есть исключения из этой схемы именования. В частности, со словами, которые чаще всего используются для некоторых полигонов:

• Треугольник . Использует греческий префикс Tri , но вместо греческого гона используется латинский угол . Trigon – правильное геометрическое имя, но оно используется редко.
• Четырехсторонний. Производный от латинского префикса quadri, , означающего четыре, прилагается к слову боковой, , которое является еще одним латинским словом, означающим сторона .
• Квадрат . Иногда четырехсторонний многоугольник (квадрат) называется четырехугольником или четырехугольником .

N-угольники

Полигоны с более чем 10 сторонами встречаются нечасто, но следуют тому же греческому соглашению об именовании Таким образом, 100-сторонний многоугольник называется гектогоном .

Однако в математике пятиугольники иногда удобнее называть n-гонами :

• 11-гонник: гендекагон
• 12-Гон: Додекагон
• 20-угольник: Icosagon
• 50-гонник: пятиконечный
• 1000-гон: чилиагон
• 1000000-гон: мегагон

В математике н-гоны и их греческие аналоги взаимозаменяемы.

Предел полигона

Теоретически, нет ограничения на количество сторон, которые может иметь многоугольник.

По мере того, как размер внутренних углов многоугольника увеличивается, а длина его сторон становится короче, многоугольник приближается к кругу, но никогда не достигает его.

Классификация полигонов

Регулярные и неправильные полигоны

Полигоны классифицируются на основании того, равны ли все углы или стороны.

• Обычный многоугольник . Все углы имеют одинаковый размер, а все стороны равны по длине.
• Нерегулярный многоугольник . Углы или стороны одинакового размера не имеют одинаковой длины.

Выпуклые против вогнутых полигонов

Второй способ классификации полигонов – по размеру их внутренних углов.

• Выпуклые многоугольники : Внутренние углы не превышают 180 °.
• Вогнутые многоугольники . Как минимум, один внутренний угол превышает 180 °.

Простые и сложные полигоны

Еще один способ классификации полигонов – это то, как линии, образующие многоугольник, пересекаются.

• Простые полигоны : линии соединяются или пересекаются только один раз – в вершинах.
• Сложные полигоны : линии пересекаются более одного раза.

Названия сложных многоугольников иногда отличаются от названий простых многоугольников с одинаковым числом сторон.

Например:

• шестиугольник правильной формы – это шестигранный простой многоугольник.
• Звездообразная гексаграмма – это шестигранный сложный многоугольник, созданный наложением двух равносторонних треугольников.

Правило суммы внутренних углов

Как правило, каждый раз, когда сторона добавляется в многоугольник, например:

• От треугольника до четырехугольника (три-четыре стороны)
• От пятиугольника до шестиугольника (пять-шесть сторон)

еще 180 ° добавляется к сумме внутренних углов.

Это правило можно записать в виде формулы:

(n – 2) × 180 °

где n равно числу сторон многоугольника.

Таким образом, сумма внутренних углов для шестиугольника может быть найдена с помощью формулы:

(6 – 2) × 180 ° = 720 °

Сколько треугольников в этом многоугольнике?

Приведенная выше формула внутреннего угла получается путем деления многоугольника на треугольники, и это число можно найти с помощью вычисления:

n – 2

В этой формуле n равно числу сторон многоугольника.

Шестиугольник (шесть сторон) можно разделить на четыре треугольника (6 – 2) и додекагон на 10 треугольников (12 – 2).

Размер угла для правильных многоугольников

Для правильных многоугольников, у которых все углы одинакового размера, а стороны одинаковой длины, размер каждого угла в многоугольнике можно рассчитать путем деления общего размера углов (в градусах) на общее количество сторон.

Для правильного шестигранного шестигранника каждый угол равен:

720 ° ÷ 6 = 120 °

Некоторые известные полигоны

Фермы

Фермы часто имеют треугольную форму. В зависимости от ширины и уклона крыши ферма может включать равносторонние или равнобедренные треугольники. Из-за их большой прочности, треугольники используются в строительстве мостов и велосипедных рам, и видны в Эйфелевой башне.

Пентагон

Пентагон – штаб-квартира Министерства обороны США – берет свое название от его формы. Здание представляет собой пятисторонний, правильный пятиугольник.

Главная пластина

Другой известный пятисторонний правильный пятиугольник – домашняя тарелка на бейсбольном алмазе.

Поддельный Пентагон

Гигантский торговый центр недалеко от Шанхая, Китай, построен в форме правильного пятиугольника и его иногда называют поддельным пятиугольником.

Снежинки

Каждая снежинка начинается с шестиугольника, но температура и уровень влажности добавляют ветви и усики, так что каждая из них выглядит по-разному.

Пчелы и осы

Естественные шестиугольники также включают ульи, где каждая клетка в соте, которую пчелы строят для содержания меда, является шестиугольной. Гнезда бумажных ос также содержат гексагональные клетки, в которых они растут.

Тротуар гиганта

Шестиугольники также найдены на мощёной дорожке Гиганта, расположенной на северо-востоке Ирландии. Это естественная горная порода, состоящая из около 40000 взаимосвязанных базальтовых колонн, которые были созданы в виде лавы из-за медленно остывающего древнего вулканического извержения.

Восьмиугольник

Восьмиугольник – имя, данное кольцу или клетке, используемому в боях Ultimate Fighting Championship (UFC) – берет свое название от своей формы. Это восьмигранный правильный восьмиугольник.

Стоп Знаки

Стоп знак – один из самых знакомых дорожных знаков – еще один восьмигранный правильный восьмиугольник. Хотя цвет, формулировка или символы на знаке могут различаться, восьмиугольная форма знака остановки используется во многих странах мира.